三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22－2y32,且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=,求此二次型。

admin2021-11-25 33

问题三元二次型f=X^TAX经过正交变换化为标准形f=y₁²+y₂²－2y₃²,且A^*+2E的非零特征值对应的特征向量为α₁=

,求此二次型。

选项

答案因为f=X^TAX经过正交变换后的标准形为f=y₁²+y₂²－2y₃²，所以矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=－2 由｜A｜=λ₁λ₂λ₃=－2得A^*的特征值为μ₁=μ₂=－2，μ₃=1 从而A^*+2E的特征值为0,0,3，即α₁为A^*+2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ₃=－2的特征向量。令A的属于特征值λ₁=λ₂=1的特征向量为[*], 因为A为实对称矩阵，所以α₁^Tα=0，即x₁+x₃=0，故矩阵A的属于λ₁=λ₂=1的特征向量为 [*] 令P=(α₂,α₃,α₁)=[*] 由P^-1AP=[*]得 [*]，所求的二次型为 f=X^TAX=－[*]x₁²+x₂²－[*]x₃²－3x₁x₃.

解析

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考研数学二

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