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  3. 三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22－2y32,且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=,求此二次型。

三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22－2y32,且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=,求此二次型。

admin2021-11-25  23
问题 三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22－2y32,且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=,求此二次型。
选项
答案因为f=XTAX经过正交变换后的标准形为f=y12+y22－2y32，所以矩阵A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=－2 由｜A｜=λ1λ2λ3=－2得A*的特征值为μ1=μ2=－2，μ3=1 从而A*+2E的特征值为0,0,3，即α1为A*+2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ3=－2的特征向量。 令A的属于特征值λ1=λ2=1的特征向量为[*], 因为A为实对称矩阵，所以α1Tα=0，即x1+x3=0，故矩阵A的属于λ1=λ2=1的特征向量为 [*] 令P=(α2,α3,α1)=[*] 由P-1AP=[*]得 [*]，所求的二次型为 f=XTAX=－[*]x12+x22－[*]x32－3x1x3.
解析
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考研数学二

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