2. 考研
  3. 设f(x)在(0，1)内有定义，且exf(x)与e-f(x)在(0，1)内都是单调增函数，证明：f(x)在(0，1)内连续．

设f(x)在(0，1)内有定义，且exf(x)与e-f(x)在(0，1)内都是单调增函数，证明：f(x)在(0，1)内连续．

admin2022-06-30  50
问题 设f(x)在(0，1)内有定义，且exf(x)与e-f(x)在(0，1)内都是单调增函数，证明：f(x)在(0，1)内连续．
选项
答案对任意的c∈(0，1)， 当x＜c时，由exf(x)≤ecf(c)及e－f(x)≤e－f(c)得f(c)≤f(x)≤ec－xf(c)， 令x→c－得f(c－0)=f(c)； 当x＞c时，由exf(x)≥ecf(c)及e－f(x)≥e－f(x)得f(c)≥f(x)≥ec－xf(c)， 令x→c+得f(c+0)=f(c)， 因为f(c－0)=f(c+0)=f(c)，所以f(x)在x=c处连续，由c的任意性得f(x)在(0，1)内连续．
解析
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考研数学二

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