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  3. 设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中不一定成立的是( )

设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中不一定成立的是( )

admin2020-03-01  55
问题 设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中不一定成立的是(    )
选项 A、若｜A｜＞0，则｜B｜＞0。
B、如果A可逆，则存在可逆矩阵P，使得PB=E。
C、如果A与E合同，则｜B｜≠0。
D、存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B。
答案A
解析 两个矩阵等价的充要条件是两个矩阵的秩相同。
当A可逆时，r(A)=n，所以r(B)=n，即B是可逆的，故B－1B=E，选项B正确。
矩阵的合同是一种等价关系，若A与E合同，则r(A)=r(E)=n，由选项B可知C项正确。
矩阵A，曰等价的充要条件是存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B，选项D正确。
事实上，当｜A｜＞0(即A可逆)时，我们只能得到｜B｜≠0(即B可逆)，故A项不一定成立。
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考研数学二

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