已知x1,x2是关于x的方程(x-2)(x-m)=(p-2)(p-m)的两个实数根,并且x1,x2是某直角三角形的两直角边的长,则该直角三角形的面积最大值为( )。

admin2021-04-30  35

问题 已知x1,x2是关于x的方程(x-2)(x-m)=(p-2)(p-m)的两个实数根,并且x1,x2是某直角三角形的两直角边的长,则该直角三角形的面积最大值为(       )。

选项 A、p2
B、(m+2)2/8
C、(1/2)p2
D、(m+2)2/4
E、(m+2)2/8或(1/2)p2

答案E

解析 原方程改写为:x2-(m+2)x+2m=p2-(m+2)p+2m,所以x2-p2-(m+2)x+(m+2)p=0,→(x-p)(x+p-m-2)==0,因此方程的两个根为:x1=p,x2=m+2-p,
直角三角形的面积为S=(1/2)x1x2=(1/2)p(m+2-p)=-(1/2)p2+(1/2)(m+2)p
=-(1/2)[p2-(m+2)p+(m+2)2/22-(m+2)2/4]
=-(1/2)[p-(m+2)/2]2+(m+2)2/8。
即当p=(m+2)/2时,三角形的面积最大,最大面积为(m+2)2/8或(1/2)p2,故选E。
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