设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若A2+A=2E，且丨A丨=4，则二次型xTAx的规范形为( )．

admin2022-11-28 31

问题设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若A²+A=2E，且丨A丨=4，则二次型x^TAx的规范形为( )．

选项 A、y₁²+y₂²+y₃²
B、y₁²+y₂²-y₃²
C、y₁²-y₂²-y₃²
D、﹣y₁²-y₂²-y₃²

答案C

解析设λ为A的特征值，由A²+A=2E得λ²+λ=2，
　解得λ=﹣2或1，所以A的特征值是1或﹣2．
　又因为丨A丨=4，所以A的三个特征值为1，﹣2，﹣2，
　所以二次型x^TAx的规范形为y₁²-y₂²-y₃²，故选c项．

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考研数学三

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