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设矩阵A为2n阶矩阵,且满足A2=A,证明:A的特征值只有0或1.
设矩阵A为2n阶矩阵,且满足A2=A,证明:A的特征值只有0或1.
admin
2018-10-22
42
问题
设矩阵A为2n阶矩阵,且满足A
2
=A,证明:A的特征值只有0或1.
选项
答案
因A
2
=A, 整理变形得A
2
-A=0. 即A(A-E)=0. 则|A|A-E|=0. 故得|A|=0或|A-E|=0. ①当|A|=0时,|-A|=(-1)
2n
|A|=0, 即|0?E-A|=|-A|=0. 故|A|=0时,A有一个特征值为0. ②当|A-E|=0时|A—E|=(-1)
2n
|E-A|=0, 即|E-A|=0. 故|A-E|=0时,A有一个特征值为1. 因此,A
2
=A时,A的特征值只有0或1.
解析
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本试题收录于:
线性代数(经管类)题库公共课分类
0
线性代数(经管类)
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