设矩阵A为2n阶矩阵，且满足A2＝A，证明：A的特征值只有0或1．

admin2018-10-22 72

问题设矩阵A为2n阶矩阵，且满足A²＝A，证明：A的特征值只有0或1．

选项

答案因A²＝A，整理变形得A²－A＝0．即A(A－E)＝0．则｜A｜A－E｜＝0．故得｜A｜＝0或｜A－E｜＝0． ①当｜A｜＝0时，｜－A｜＝(－1)²ⁿ｜A｜＝0，即｜0?E－A｜＝｜－A｜＝0．故｜A｜＝0时，A有一个特征值为0． ②当｜A－E｜＝0时｜A—E｜＝(－1)²ⁿ｜E－A｜＝0，即｜E－A｜＝0．故｜A－E｜＝0时，A有一个特征值为1．因此，A²＝A时，A的特征值只有0或1．

解析

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