设f(x,y)连续,则I=∫02rdr(rcosθ,rsinθ)dθ=( )

admin2022-06-09  33

问题 设f(x,y)连续,则I=∫02rdr(rcosθ,rsinθ)dθ=(          )

选项 A、∫0π/2dθ∫02f(rcosθ,rsinθ)rdr
B、∫0π/2dθ∫02sinθf(rcosθ,rsinθ)rdr
C、∫-π/2π/2dθ∫02cosθf(rcosθ,rsinθ)rdr
D、∫-π/2π/202secθf(rcosθ,rsinθ)rdr

答案C

解析 由已知,如图所示,有极坐标表示
D={(r,θ)|0≤r≤2,-arccos r/2≤θ≤arccos r/2}
对应的直角坐标表示为D={(x,y)|x2+y2≤2x}
再转化为“先r后θ”的极坐标表示为
D={(r,θ)|-π/2≤θ≤π/2,0≤r≤2cosθ},
故C正确,本题还可以直接交换积分次序
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