设f(x)，g(x)在(－∞，+∞)上有定义，且x=x1是f(x)的唯一间断点，x=x2是g(x)的唯一间断点，则( )

admin2020-01-12 113

问题设f(x)，g(x)在(－∞，+∞)上有定义，且x=x₁是f(x)的唯一间断点，x=x₂是g(x)的唯一间断点，则( )

选项 A、当x₁=x₂时，f(x)+g(x)必有唯一的间断点x=x₁。
B、当x₁≠x₂时，f(x)+g(x)必有两个间断点x=x₁与x=x₂。
C、当x₁=x₂时，f(x)g(x)必有唯一间断点x=x₁。
D、当x₁≠x₂时，f(x)g(x)必有两个间断点x=x₁与x=x₂。

答案B

解析令F(x)=f(x)+g(x)，假设F(x)在x=x₁处连续，由f(x)=F(x)－g(x)及已知条件g(x)仅在x=x₂处间断，其他点处均连续，于是推出f(x)在x=x₁处连续，这与已知条件矛盾，故F(x)在x=x₁处间断。同理，推出F(x)在x=x₂处亦间断。下面一一举出其他三个选项的反例：
选项(A)的反例f(x)=

g(x)=－f(x)，而f(x)+g(x)=0无间断点；选项(C)的反例与选项(A)的相同，此时f(x)g(x)=－1，无间断点；选项(D)的反例

f(x)g(x)=0无间断点。故选(B)。

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考研数学三

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