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设n是奇数,将1,2,3,…,n2共n2个数,排成一个n阶行列式,使其每行及每列元素的和都相等,证明:该行列式的值是全体元素之和的整数倍.
设n是奇数,将1,2,3,…,n2共n2个数,排成一个n阶行列式,使其每行及每列元素的和都相等,证明:该行列式的值是全体元素之和的整数倍.
admin
2019-01-05
53
问题
设n是奇数,将1,2,3,…,n
2
共n
2
个数,排成一个n阶行列式,使其每行及每列元素的和都相等,证明:该行列式的值是全体元素之和的整数倍.
选项
答案
设|A|=[*]其中n=2k+1是奇数,k是整数. 设全体元素之和为S,即[*]则每行每列元素之和为[*].则 [*] 右端行列式中[*](j=2,3,…,n),其中n=2k+1是奇数,故n
2
=(2k+1)
2
仍是奇数,则n
2
+1是偶数,[*]也是整数.又a
ij
(i=2,…,n,j=2,…,n)是整数,故右端行列式的值是整数(由行列式的定义知),故|A|是全体元素之和S的整数倍.
解析
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考研数学三
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