设f(χ)二阶可导，且∫0χf(t)dt＋∫0χtf(χ－t)dt＝χ，求f(χ)．

admin2017-09-15 46

问题设f(χ)二阶可导，且∫₀^χf(t)dt＋∫₀^χtf(χ－t)dt＝χ，求f(χ)．

选项

答案∫₀^χtf(χ－t)dt[*]χ∫₀^χf(u)du－∫₀^χuf(u)du＝χ∫₀^χf(t)dt－∫₀^χtf(t)dt， ∫₀^χf(t)dt＋∫₀^χtf(χ－t)dt＝χ化为 ∫₀^χf(t)dt＋χ∫₀^χf(t)dt－∫₀^χtf(t)dt＝χ，两边求导得 f(χ)＋∫₀^χf(t)dt＝1，两边再求导得 f′(χ)＋f(χ)＝0，解得f(χ)＝Ce^－χ，因为f(0)＝1，所以C＝1，故f(χ)＝e^－χ

解析

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考研数学二

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曲线与直线x=0，x=t(t>0)及y=0围成一曲边梯形．该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x=t处的底面积为F(t)．
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