假设：(1)函数y=f(x)(0≤x＜+∞)满足条件f(0)=O和0≤f(x)≤ex-1；(2)平行于y轴的动直线MN与曲线Y=f(x)和y=ex-1分别相交于点P1和P2；(3)曲线y=f(x)，直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度

admin2020-07-31 41

问题假设：(1)函数y=f(x)(0≤x＜+∞)满足条件f(0)=O和0≤f(x)≤e^x-1；(2)平行于y轴的动直线MN与曲线Y=f(x)和y=e^x-1分别相交于点P₁和P₂；(3)曲线y=f(x)，直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段P₁P₂的长度，求函数y=f(x)的表达式．

选项

答案由已知条件，有∫₀^xf(t)dt=e^x-1-f(x)，方程两边对x求导得f(x)=e^x-f^’(x)，即f^’(x)+f(x)=e^x，令x=0，由原方程得f(0)=0，于是，原问题就转化为求微分方程f^’(x)+f(x)=e^x满足初始条件f(0)=0的特解．由一阶线性微分方程的通解公式，得[*]

解析

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考研数学二

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假设：(1)函数y=f(x)(0≤x＜+∞)满足条件f(0)=O和0≤f(x)≤ex-1；(2)平行于y轴的动直线MN与曲线Y=f(x)和y=ex-1分别相交于点P1和P2；(3)曲线y=f(x)，直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度

考研数学二

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