2. 考研
  3. “对任意的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn－a|≤2ε”是数列{xn}收敛于a的( )．

“对任意的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn－a|≤2ε”是数列{xn}收敛于a的( )．

admin2019-03-22  39
问题 “对任意的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn－a|≤2ε”是数列{xn}收敛于a的(    )．
选项 A、充分条件，但非必要条件
B、必要条件，但非充分条件
C、充分必要条件
D、既非充分条件，又非必要条件
答案C
解析 将题设条件与数列收敛定义比较知，“对任意的ε∈(0，1)”与“对任给的ε>0”是相当的，而n≥N比定义中多了一个等号，显然由于定义中的N并不唯一，多一个等号也是可以的．事实上，若取Nn=N—1，则N>N0，即为n≥N．至于|xn一a|≤2ε，这里既多了一个等号，还乘以2，但由ε>0是任给的，满足ε=ε0／3的ε0>0仍然是任给的，这时就有
               |xn一a|≤2ε=(2／3)ε0<ε0，
这与定义|xn一a|<ε相当．综上所述，所给条件是{xn}收敛于口的充要条件．仅(C)入选．
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考研数学三

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