2. 考研
  3. 设数列{an}满足条件：a0=3，a1=1，an—2一n（n一1）an=0（n≥2）。S（x）是幂级数anxn的和函数。 （Ⅰ）证明：S"（x）一S（x）=0； （Ⅱ）求S（x）的表达式。

设数列{an}满足条件：a0=3，a1=1，an—2一n（n一1）an=0（n≥2）。S（x）是幂级数anxn的和函数。 （Ⅰ）证明：S"（x）一S（x）=0； （Ⅱ）求S（x）的表达式。

admin2017-12-29  64
问题 设数列{an}满足条件：a0=3，a1=1，an—2一n（n一1）an=0（n≥2）。S（x）是幂级数anxn的和函数。
（Ⅰ）证明：S"（x）一S（x）=0；
（Ⅱ）求S（x）的表达式。
选项
答案（Ⅰ）证明：由题意得 S’（x）=[*]nanxn—1， S"（x）=[*]n（n一1）anxn—2=[*]（n+1）（n+2）an+2xn， 因为由已知条件得an=（n+1）（n+2）an+2（n=0，1，2，…），所以S"（x）=S（x），即 S"（x）一S（x）=0。 （Ⅱ）S"（x）一S（x）=0为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为λ2一1=0，从而A=±1，于是 S（x）=C1e—x+C2ex， 由S（0）=a0=3，S’（0）=a1=1，得 [*] 解得C1=1，C2=2，所以S（x）=e—x+2ex。
解析
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考研数学三

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