设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值，X1、Xn分别为对应于λ1和λn的特征向量，记证明：λ1≤f(X)≤λn，mlnf(X)=λ1=f(X1)，maxf(X)=λn=f(Xn)．

admin2018-04-18 52

问题设λ₁、λ_n分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值，X₁、X_n分别为对应于λ₁和λ_n的特征向量，记

证明：λ₁≤f(X)≤λ_n，mlnf(X)=λ₁=f(X₁)，maxf(X)=λ_n=f(X_n)．

选项

答案只证最大值的情形(最小值情形的证明类似)：必存在正交变换X=PY(P为正交矩阵，Y=(y₁，…，y_n)^T)，使得X^TAX[*]λ₁λ_n²+…+λ_nλ_n²≤λ_n(λ₁²+…+λ_n²)=λ_n||Y||²，由于正交变换不改变向量长度，故有||Y||²=||X||²=X^TX，上式即X^TAX≤λ_nX^TX，当X≠0时，X^TX＞0，即得f(X)=[*]≤λ_n，又f(X_n)=[*]=λ_n，于是得maxf(X)=λ_n．

解析

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考研数学二

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