2. 考研
  3. 设y=y(x)(x＞0)是微分方程2+y’一y=(4—6x)e－x的一个解，且=0． (I)求y(x)，并求y=y(x)到z轴的最大距离． (Ⅱ)计算y(x)dx．

设y=y(x)(x＞0)是微分方程2+y’一y=(4—6x)e－x的一个解，且=0． (I)求y(x)，并求y=y(x)到z轴的最大距离． (Ⅱ)计算y(x)dx．

admin2016-03-26  51
问题 设y=y(x)(x＞0)是微分方程2+y’一y=(4—6x)e－x的一个解，且=0．
(I)求y(x)，并求y=y(x)到z轴的最大距离．
(Ⅱ)计算y(x)dx．
选项
答案(I)2[*]+y’一y=(4—6x)e－x的特征方程为2λ2+λ一1=0，特征值为λ1=一1， λ2=[*]，2[*]+y’一y=0的通解为y=—C1e－x+C2 [*]， 令2[*]+y’－y=(4—6x)e－x的特解为y0=(ax2+bx)e－x，代入得a=1，b=0， 原方程的通解为y=C1e－x+C2[*]+x2e－x． 由[*]=0。得y(0)=0,y’(0)=0，代入通解得C1=C2=0，故y=[*]． 由y’=(2x—x2)e－x=0得x=2， 当z∈(0，2)时，y’>0；当x>2时，y’＜0，则x=2为y(x)的最大点， 故最大距离为dmax=y(2)=4e－2． (Ⅱ)[*]y(x)dx=[*]x2e－xdx=[*](3)=2[*]=2．
解析
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考研数学三

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