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设y=y(x)(x>0)是微分方程2+y’一y=(4—6x)e-x的一个解,且=0. (I)求y(x),并求y=y(x)到z轴的最大距离. (Ⅱ)计算y(x)dx.
设y=y(x)(x>0)是微分方程2+y’一y=(4—6x)e-x的一个解,且=0. (I)求y(x),并求y=y(x)到z轴的最大距离. (Ⅱ)计算y(x)dx.
admin
2016-03-26
51
问题
设y=y(x)(x>0)是微分方程2
+y’一y=(4—6x)e
-x
的一个解,且
=0.
(I)求y(x),并求y=y(x)到z轴的最大距离.
(Ⅱ)计算
y(x)dx.
选项
答案
(I)2[*]+y’一y=(4—6x)e
-x
的特征方程为2λ
2
+λ一1=0,特征值为λ
1
=一1, λ
2
=[*],2[*]+y’一y=0的通解为y=—C
1
e
-x
+C
2
[*], 令2[*]+y’-y=(4—6x)e
-x
的特解为y
0
=(ax
2
+bx)e
-x
,代入得a=1,b=0, 原方程的通解为y=C
1
e
-x
+C
2
[*]+x
2
e
-x
. 由[*]=0。得y(0)=0,y’(0)=0,代入通解得C
1
=C
2
=0,故y=[*]. 由y’=(2x—x
2
)e
-x
=0得x=2, 当z∈(0,2)时,y’>0;当x>2时,y’<0,则x=2为y(x)的最大点, 故最大距离为d
max
=y(2)=4e
-2
. (Ⅱ)[*]y(x)dx=[*]x
2
e
-x
dx=[*](3)=2[*]=2.
解析
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考研数学三
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