已知的一个特征向量． (1)试确定a，b的值及特征向量ξ所对应的特征值； (2)问A能否相似于对角阵？说明理由．

admin2017-04-23 84

问题已知

的一个特征向量．
(1)试确定a，b的值及特征向量ξ所对应的特征值；
(2)问A能否相似于对角阵？说明理由．

选项

答案(1)由(λE一 A)ξ=[*]解得a=一3，b=0，λ=一1． (2)A=[*]的特征值为λ₁=λ₂=λ₃=一1，但矩阵一E一A=[*]的秩为2，从而与λ=一1对应的线性无关特征向量(即A的线性无关特征向量)只有1个，故A不能相似于对角阵．或用反证法：若A与对角阵D相似，则D的主对线元素就是A的全部特征值，即D=一E，于是若存在可逆矩阵P，使P^一1AP=D=一E，则A=P(一E)^一1=一E，这与A≠一E发生矛盾．

解析

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