设级数收敛，而是收敛的正项级数，证明：存在正数M，使|un|≤M,n=0,1,2,…

admin2022-10-08 55

问题设级数

收敛，而

是收敛的正项级数，证明：
存在正数M，使|u_n|≤M,n=0,1,2,…

选项

答案级数[*]的前n项和为 S_n=(u₁－u₀)+(u₂－u₁)+…+(u_n－u_n-1)=u_n－u₀ 即u_n=S_n+u₀，又因级数[*]收敛，故极限[*]存在，设此极限为S,即 [*] 因此，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，当n＞N时恒有 |u_n－(S+u₀)|＜ε 于是|u_n|－|S+u₀|≤|u_n－(S+u₀)|＜ε,即|u_n|＜ε+|S+u₀| 现取M=max{|u₀|，|u₁|，...，|u_N|,ε+|S+u₀|}，则|u_n|≤M,n=0,1,2,....

解析

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