(1)叙述极限的柯西准则； (2)根据柯西准则叙述不存在的充要条件，并应用它证明sinx不存在．

admin2022-10-31 85

问题 (1)叙述极限

的柯西准则；
(2)根据柯西准则叙述

不存在的充要条件，并应用它证明

sinx不存在．

选项

答案(1)设f(x)在(-∞，a]上有定义，极限[*]存在的充要条件是：任给ε＞0，存在实数M＞0(-M＜a)，使得对任何x’＜-M，x”＜-M，有｜f(x’)-f(x”)｜＜ε． (2)设f(x)在(-∞，a]上有定义，极限[*]f(x)不存在的充要条件是：[*]ε₀＞0，对任何M＞0(-M＜a)，总存在x’＜-M，x”＜-M，使得｜f(x’)-f(x”)｜≤ε₀．取ε₀=1／2，对[*]M＞0，令x’=(-[M]-1)π，x”=(-[M]-[*])π．则x’·x”＜-M，并且｜sinx’-sinx”｜=1＞ε₀．故[*]f(x)不存在．

解析

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