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考研
证明n阶矩阵相似.
证明n阶矩阵相似.
admin
2021-01-25
77
问题
证明n阶矩阵
相似.
选项
答案
[*] 因为 |λE-A| [*] =(λ-1)λ
n-1
|λE-B| [*] =(λ-n)λ
n-1
所以A与B有相同的特征值λ
1
=n,λ
n
=0(n-1重). 由于A为实对称矩阵,所以A相似于对角矩阵 [*] 因为r(λ
2
E-B)=r(B)=1,所以B的对应于特征值λ
2
=0有n-1个线性无关的特征向量,于是由方阵相似于对角矩阵的充要条件知B也相似于A.再由矩阵的相似关系具有对称性和传递性知A与B也相似. 证2设存在可逆矩阵P,使得P
-1
AP=B,或AP=PB,设P按列分块为P=[p
1
,p
2
,p
n
],则 AP=PB[*]A[p
1
,p
2
,…,p
n
] [*] [*]Ap
1
=0,…,Ap
n-1
=0,…,Ap
n
=p
1
+2p
2
+…+,np
n
. 由解上面的方程组,可求出可逆矩阵 P=[p
1
,p
2
,…,p
n
] [*] 满足P
-1
AP=B,所以A相似于B.
解析
本题综合考查特征值的计算、方阵相似于对角矩阵的条件.本题中计算行列式|λE-A|可以利用行(列)和相等行列式的计算方法.求实对称矩阵A的特征值还可以用下法:因为A的秩为1.所以A只有一个非零特征值λ
1
,其它特征值均为0:λ
2
=…=λ
n
=0,再由λ
1
+λ
2
+…+λ
n
=(A的对角元之和)n,知λ
1
=n.本题证法2是一个构造性的证明,当n≤4时计算满足P
-1
AP=B的矩阵P都是比较容易的,当然P不是唯一的.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Zyx4777K
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考研数学三
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