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设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x2x3在正交变换x=Oy下的标准型为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．
设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x2x3在正交变换x=Oy下的标准型为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．
admin
2017-02-21
43
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2x
1
2
-x
2
2
+ax
3
2
+2x
1
x
2
-8x
1
x
3
+2x
2
x
3
在正交变换x=Oy下的标准型为λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
，求a的值及一个正交矩阵Q．
选项
答案
f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
AX，其中A=[*] 由于f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
AX经正交变换后，得到的标准形为λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
， 故r(A)=2[*]a=2， 将a=2代入，满足r(A)=2，因此a=2符合题意，此时A=[*]，则 |λE-A|=[*]λ
1
=-3，λ
2
=0，λ
3
=6， 由(-3E-A)x=0，可得A的属于特征值-3的特征向量为α
1
=[*] 由(6E-A)x=0，可得A的属于特征值6的特征向量为α
2
=[*] 由(0E-A)x=0，可得A的属于特征值0的特征向量为α
3
=[*] 令P=(α
1
，α
2
，α
3
)，则P
-1
AP=[*]，由于α
1
，α
2
，α
3
彼此正交，故只需单位化即可： β
1
=[*](1，-1，1)
T
，β
2
=[*](-1，0，1)
T
，β
3
=[*](1，2，1)
T
， 则Q=(β
1
β
2
β
3
)=[*]，Q
T
AQ=[*]
解析
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考研数学二
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