设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，且f(x)＜1,证明：方程2x－∫0xf(t)dt=1在(0,1)内有且仅有一个解。

admin2022-10-08 61

问题设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，且f(x)＜1,证明：方程2x－∫₀^xf(t)dt=1在(0,1)内有且仅有一个解。

选项

答案设F(x)=2x－∫₀^xf(t)dt－1,则 F(0)=－1＜0,F(1)=1－∫₀¹f(t)dt=∫₀¹[1－f(t)]dt＞0 由零点定理知F(x)=0在(0,1)内至少有一个根，而F’(x)=2－f(x)＞0,从而F(x)单调增加，x∈(0,1). 所以F(x)=0在(0,1)内有且仅有一个根。

解析

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