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设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,且f(x)<1,证明:方程2x-∫0xf(t)dt=1在(0,1)内有且仅有一个解。
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,且f(x)<1,证明:方程2x-∫0xf(t)dt=1在(0,1)内有且仅有一个解。
admin
2022-10-08
69
问题
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,且f(x)<1,证明:方程2x-∫
0
x
f(t)dt=1在(0,1)内有且仅有一个解。
选项
答案
设F(x)=2x-∫
0
x
f(t)dt-1,则 F(0)=-1<0,F(1)=1-∫
0
1
f(t)dt=∫
0
1
[1-f(t)]dt>0 由零点定理知F(x)=0在(0,1)内至少有一个根,而F’(x)=2-f(x)>0,从而F(x)单调增加,x∈(0,1). 所以F(x)=0在(0,1)内有且仅有一个根。
解析
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0
考研数学三
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