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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内有f(x)>0恒成立且xf’(x)=f(x)+ax2。由曲线y=f(x)与直线x=1,y=0围成的平面图形的面积为2。 求函数y=f(x)的解析式;
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内有f(x)>0恒成立且xf’(x)=f(x)+ax2。由曲线y=f(x)与直线x=1,y=0围成的平面图形的面积为2。 求函数y=f(x)的解析式;
admin
2017-01-16
42
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内有f(x)>0恒成立且xf’(x)=f(x)+
ax
2
。由曲线y=f(x)与直线x=1,y=0围成的平面图形的面积为2。
求函数y=f(x)的解析式;
选项
答案
将xf’(x)=f(x)+[*]ax
2
变形得f’(x)-[*]ax,这是一阶线性微分方程,由一阶线性微分方程的通解公式得 f(x)=[*]ax
2
+Cx,x∈[0,1]。 由y=f(x)与x=1,y=0围成的平面图形的面积为2可知, 2=∫
0
1
([*]ax
2
+Cx)dx=[*](a+C),即C=4-a, 故 f(x)=[*]ax
2
+(4-a)x。 注意到在(0,1)内需f(x)>0成立,故还需确定a的取值范围。 f(0)=0,f(1)=4+[*] ①当a=0时,f(x)=4x,满足题意; ②当a>0时,函数f(x)开口向上,只需对称轴[*]≤0即可,即0<0≤4; ③当a<0时,函数f(x)开口向下,对称轴[*]>0,只需f(1)≥0,即-8≤a<0; 综上所述,f(x)=[*]ax
2
+(4-a)x且-8≤a≤4。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/aCu4777K
0
考研数学一
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