2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内有f(x)＞0恒成立且xf’(x)=f(x)+ax2。由曲线y=f(x)与直线x=1，y=0围成的平面图形的面积为2。 求函数y=f(x)的解析式；

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内有f(x)＞0恒成立且xf’(x)=f(x)+ax2。由曲线y=f(x)与直线x=1，y=0围成的平面图形的面积为2。 求函数y=f(x)的解析式；

admin2017-01-16  25
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内有f(x)＞0恒成立且xf’(x)=f(x)+ax2。由曲线y=f(x)与直线x=1，y=0围成的平面图形的面积为2。
求函数y=f(x)的解析式；
选项
答案将xf’(x)=f(x)+[*]ax2变形得f’(x)-[*]ax，这是一阶线性微分方程，由一阶线性微分方程的通解公式得 f(x)=[*]ax2+Cx，x∈[0，1]。 由y=f(x)与x=1，y=0围成的平面图形的面积为2可知， 2=∫01([*]ax2+Cx)dx=[*](a+C)，即C=4-a， 故 f(x)=[*]ax2+(4-a)x。 注意到在(0，1)内需f(x)＞0成立，故还需确定a的取值范围。 f(0)=0，f(1)=4+[*] ①当a=0时，f(x)=4x，满足题意； ②当a＞0时，函数f(x)开口向上，只需对称轴[*]≤0即可，即0＜0≤4； ③当a＜0时，函数f(x)开口向下，对称轴[*]＞0，只需f(1)≥0，即-8≤a＜0； 综上所述，f(x)=[*]ax2+(4-a)x且-8≤a≤4。
解析
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考研数学一

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