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已知3阶矩阵A满足∣A-E∣=∣A-2E∣=∣A+E∣=a,其中E为3阶单位矩阵. 当a=2时,求行列式∣A+3E∣的值.
已知3阶矩阵A满足∣A-E∣=∣A-2E∣=∣A+E∣=a,其中E为3阶单位矩阵. 当a=2时,求行列式∣A+3E∣的值.
admin
2021-04-07
70
问题
已知3阶矩阵A满足∣A-E∣=∣A-2E∣=∣A+E∣=a,其中E为3阶单位矩阵.
当a=2时,求行列式∣A+3E∣的值.
选项
答案
当a=2时,设f(λ)=∣λE-A∣是A的特征多项式,g(λ)=f(λ)+2则 g(1)=f(1)+2=∣E-A∣+2=0, g(2)=f(2)+2=∣2E-A∣+2=0, g(-1)=f(-1)+2=∣E-A∣+2=0, 所以g(λ)=(λ-1)(λ-2)(λ+1)=λ
3
-2λ
2
-λ+2,由此得 f(λ)=g(λ)-2=λ(λ
2
-2λ-1) 令f(λ)=0,解得A的特征值为0,1+[*],1-[*],所以A+3E的特征值为3,4+[*],4-[*],故 ∣A+3E∣=3(4+[*])(4-[*])=42。
解析
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考研数学二
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