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设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,设 若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y22+y22
设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,设 若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y22+y22
admin
2019-08-12
65
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
,设
若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y
2
2
+y
2
2
选项
答案
设A=2αα
T
+ββ
T
,由已知|α|=1,β
T
α=0,则Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2|α|
2
+ββ
T
α=2α,所以α为矩阵对应特征值λ
1
=2的特征向量;Aβ=(2αα+ββ
T
)β=2αα
T
β+β|β|
2
=β,所以β为矩阵对应特征值λ
2
=1的特征向量.而矩阵A的秩r(A)=r(2αα
T
+ββ
T
)≤r(2αα
T
)+r(ββ
T
)=2,所以λ
3
=0也是矩阵的一个特征值.故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/g5N4777K
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考研数学二
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