在区间[0，1]上函数f(x)=nx(1－x)n(n为正整数)的最大值记为M(n)，则＝_______．

admin2022-09-14 184

问题在区间[0，1]上函数f(x)=nx(1－x)ⁿ(n为正整数)的最大值记为M(n)，则

＝_______．

选项

答案e^－1

解析 f(x)＝nx(1－x)ⁿ，f^’(x)＝n(1－x)ⁿ－n²x(1－x)^n－1＝n(1－x)^n－1(1－x－nx)．
令f^’(x)＝0，得x＝

或x＝1．记x₁＝

，x₂＝1．由于f(0)＝f(1)＝0，f(x)>0(x∈0，1))，
在区间(0，1)内求得唯一驻点x₁＝

，所以f(x₁)为最大值．则

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