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设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,f(0)=f(2)=0,且|f’(x)|≤2.证明: |∫02f(x)dx|≤2.
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,f(0)=f(2)=0,且|f’(x)|≤2.证明: |∫02f(x)dx|≤2.
admin
2015-06-26
75
问题
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,f(0)=f(2)=0,且|f’(x)|≤2.证明:
|∫
0
2
f(x)dx|≤2.
选项
答案
由微分中值定理得f(x)一f(0)=f’(ξ
1
)x,其中0<ξ
1
<x,f(x)—f(2)一=f’(ξ
2
)(x一2),其中x<ξ
2
<2,于是[*], 从而|∫
0
2
f(x)dx|≤∫
0
2
|f(x)|dx=∫
0
1
(x)|dx+∫
1
2
|f|f(x)|dx ≤∫
0
1
2xdx+∫
1
2
2(2一x)dx=2.
解析
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考研数学三
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