设A为m×n阶实矩阵，且r(A)=n,证明：ATA的特征值全大于零。

admin2021-11-25 48

问题设A为m×n阶实矩阵，且r(A)=n,证明：A^TA的特征值全大于零。

选项

答案首先A^TA为实对称矩阵，r(A^TA)=n，对任意的X≠0 X^T(A^TA)X=(AX)^T(AX),令AX=α,因为r(A)=n，所以α≠0，所以 (AX)^T(AX)=α^Tα=｜α｜²＞0,即二次型X^T(A^TA)X是正定二次型，A^TA为正定矩阵，所以A^TA的特征值全大于零。

解析

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考研数学二

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