设函数y=y(x)由方程ylny-x+y=0确定,试判断曲线y=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性.

admin2014-03-11  37

问题 设函数y=y(x)由方程ylny-x+y=0确定,试判断曲线y=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性.

选项

答案将方程看成关于x的恒等式,两端对x求导数得 y’lny+y’-1+y’=0, 整理得 y’(2+lny)=1, (*) 在(*)式中令x=l,y=1可得y’(1)=1/2.将(*)式两端再对x求导数,得 y"(2+lny)+y’.y’/y=0 y"=-(y’)2/y(2+lny). 在上式中令x=1,y=1,y’=1/2即得y"(1)=-1/8<0.由y“(x)的连续性知存在x=1的一个邻域,在此邻域中y"(x)<0,即曲线y=y(x)在点(1,1)附近是凸弧.

解析
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