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设u0=0,u1=1,un+1=aun+bun-1,n=1,2,…,其中a,b为实常数,又设f(χ)= (Ⅰ)试导出f(χ)满足的微分方程; (Ⅱ)证明:f(χ)=-eaχf(-χ).
设u0=0,u1=1,un+1=aun+bun-1,n=1,2,…,其中a,b为实常数,又设f(χ)= (Ⅰ)试导出f(χ)满足的微分方程; (Ⅱ)证明:f(χ)=-eaχf(-χ).
admin
2020-03-05
30
问题
设u
0
=0,u
1
=1,u
n+1
=au
n
+bu
n-1
,n=1,2,…,其中a,b为实常数,又设f(χ)=
(Ⅰ)试导出f(χ)满足的微分方程;
(Ⅱ)证明:f(χ)=-e
aχ
f(-χ).
选项
答案
(Ⅰ)由于f(χ)=[*]为幂级数,故在其收敛区间内可逐项求导: [*] 又u
0
=1,u
1
=1,u
n+1
=au
n
+bu
n-1
,n:1,2,…,因此 [*] 由此可得f(χ)满足的微分方程 f〞(χ)-af′(χ)-bf(χ)=0. (Ⅱ)由f(0)=0,f′(0)=1,可知f(χ)是初值问题的唯一解. [*] 设f
1
(χ)=-e
aχ
f(-χ),则 f′
1
(χ)=-ae
aχ
f(-χ)+e
aχ
y′(-χ), f〞
1
(χ)=-a
2
e
aχ
f(-χ)+ae
aχ
f′(-χ)+ae
aχ
f′(-χ)-e
aχ
f〞(-χ), 于是f〞
1
(χ)-af′
1
(χ)=ae
aχ
f′(-χ)-e
aχ
f〞(-χ)=-e
aχ
[f〞(-χ)-af′(-χ)] =-be
aχ
f(-χ)=bf
1
(χ). 因此f〞
1
(χ)-af′
1
-bf
1
(χ)=0且f
1
(χ)=0,f′
1
(0)=1.可知f
1
(χ)也是初值问题(*)的解,由于解唯一,故有 f(χ)=f
1
(χ)=-e
aχ
f(-χ).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/auS4777K
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考研数学一
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