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(1999年)设生产某种产品必须投入两种要素,x1和x2分别为两要素的投入量,Q为产出量;若生产函数为Q=2x1αx2β,其中α,β为正常数,且α+β=1。假设两种要素的价格分别为p1和p2,试问:当产出量为12时,两要素各投入多少可以使得投入总费用最小?
(1999年)设生产某种产品必须投入两种要素,x1和x2分别为两要素的投入量,Q为产出量;若生产函数为Q=2x1αx2β,其中α,β为正常数,且α+β=1。假设两种要素的价格分别为p1和p2,试问:当产出量为12时,两要素各投入多少可以使得投入总费用最小?
admin
2021-01-25
59
问题
(1999年)设生产某种产品必须投入两种要素,x
1
和x
2
分别为两要素的投入量,Q为产出量;若生产函数为Q=2x
1
α
x
2
β
,其中α,β为正常数,且α+β=1。假设两种要素的价格分别为p
1
和p
2
,试问:当产出量为12时,两要素各投入多少可以使得投入总费用最小?
选项
答案
设两种要素的总投入费用为P,则由题意得P=p
1
x
1
+p
2
x
2
,题目问产出量为12时,两要素各投入多少可以使得投入总费用最小,即求函数P=p
1
x
1
+p
2
x
2
在约束条件Q=2x
1
α
x
2
β
一12=0下的条件最值。按拉格朗日乘数法,作函数 F(x
1
,x
2
,λ)=p
1
x
1
+p
2
x
2
+λ(2x
1
α
x
2
β
一12),为求驻点求偏导并令其为零,即 [*] 由前两式可得[*],解出x
2
代入第三个式子,得[*]因为驻点唯一,且实际问题在x
1
>0,x
2
>0的范围内存在最小值,故[*]时P为最小。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/avx4777K
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考研数学三
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