设n阶方阵A、B可交换，即AB=BA，且A有n个互不相同的特征值．证明：(1)A的特征向量都是B的特征向量；(2)B相似于对角矩阵．

admin2017-04-19 24

问题设n阶方阵A、B可交换，即AB=BA，且A有n个互不相同的特征值．证明：(1)A的特征向量都是B的特征向量；(2)B相似于对角矩阵．

选项

答案由于A有n个互不相同特征值，故A有n个线性无关的特征向量，因此，如果(1)成立，则(2)必成立，故只需证明(1)．设α为A之特征向量，则有数λ，使Aα=λα，两端左乘B，并利用BA=AB，得A(Bα)=λ(Bα)，若Bα≠0，则Bα亦为A的属于特征值λ的特征向量，因(λE一A)x=0的解空间为1维的，故有数μ，使Bα=μα，故α亦为β之特征向量；若Bα=0，则Bα=0α，即α为B的属于特征值0的特征向量．总之，α必为B之特征向量，由于α的任意性，说明A的特征向量都是B的特征向量．

解析

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考研数学一

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设n阶方阵A、B可交换，即AB=BA，且A有n个互不相同的特征值．证明：(1)A的特征向量都是B的特征向量；(2)B相似于对角矩阵．

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