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设n阶方阵A、B可交换,即AB=BA,且A有n个互不相同的特征值.证明:(1)A的特征向量都是B的特征向量;(2)B相似于对角矩阵.
设n阶方阵A、B可交换,即AB=BA,且A有n个互不相同的特征值.证明:(1)A的特征向量都是B的特征向量;(2)B相似于对角矩阵.
admin
2017-04-19
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问题
设n阶方阵A、B可交换,即AB=BA,且A有n个互不相同的特征值.证明:(1)A的特征向量都是B的特征向量;(2)B相似于对角矩阵.
选项
答案
由于A有n个互不相同特征值,故A有n个线性无关的特征向量,因此,如果(1)成立,则(2)必成立,故只需证明(1).设α为A之特征向量,则有数λ,使Aα=λα,两端左乘B,并利用BA=AB,得A(Bα)=λ(Bα),若Bα≠0,则Bα亦为A的属于特征值λ的特征向量,因(λE一A)x=0的解空间为1维的,故有数μ,使Bα=μα,故α亦为β之特征向量;若Bα=0,则Bα=0α,即α为B的属于特征值0的特征向量.总之,α必为B之特征向量,由于α的任意性,说明A的特征向量都是B的特征向量.
解析
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考研数学一
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