设f(x)连续，且F(x)＝∫0x(x－2t)f(t)dt.证明：若f(x)单调不增，则F(x)单调不减.

admin2021-08-31 9

问题设f(x)连续，且F(x)＝∫₀^x(x－2t)f(t)dt.证明：
若f(x)单调不增，则F(x)单调不减.

选项

答案F(x)＝∫₀^x(x－2t)f(t)dt＝x∫₀^xf(t)du－2∫₀^xtf(t)dt，F’(x)＝∫₀^xf(t)dt－xf(x)＝x[f(ξ)－f(x)]，其中ξ介于0与x之间，当x＜0时，x≤t≤0，因为f(x)单调不增，所以F’(x)≥0，当x≥0时，0≤ξ≤x，因为f(x)单调不增，所以F’(x)≥0，从而F(x)单调不减.

解析

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