计算下列反常积分: (Ⅰ)∫1+∞ (Ⅱ)∫1+∞ (Ⅲ)∫0+∞ (Ⅳ)∫0a

admin2018-06-27  53

问题 计算下列反常积分:
(Ⅰ)∫1+∞
(Ⅱ)∫1+∞
(Ⅲ)∫0+∞
(Ⅳ)∫0a

选项

答案(Ⅰ)这是一个无穷区间上的反常积分,可以通过求原函数的方法计算. ∫1+∞[*]=∫1+∞[*]=e-21+∞[*] =e-2arctanex-11+∞ =e-2[*]e-2. (Ⅱ)这是一个有理函数在无穷区间上的反常积分,可以通过求原函数的方法计算. 因为[*],且x≥1,于是有原函数 F(x)=lnx-[*]ln(x2+1)=[*] 从而 [*] (Ⅲ) [*] (Ⅳ)这是一个无界函数的反常积分,其瑕点为a,由于被积函数中含有根式,应通过变量替换将根式去掉.注意被积函数可改写为[*],即 x=[*](1+sint),代入即得 [*]

解析
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