计算下列反常积分： (Ⅰ)∫1+∞ (Ⅱ)∫1+∞ (Ⅲ)∫0+∞ (Ⅳ)∫0a

admin2018-06-27 78

问题计算下列反常积分：
(Ⅰ)∫₁^+∞

(Ⅱ)∫₁^+∞

(Ⅲ)∫₀^+∞

(Ⅳ)∫₀^a

选项

答案(Ⅰ)这是一个无穷区间上的反常积分，可以通过求原函数的方法计算． ∫₁^+∞[*]=∫₁^+∞[*]=e^-2∫₁^+∞[*] =e^-2arctane^x-1｜₁^+∞ =e^-2[*]e^-2． (Ⅱ)这是一个有理函数在无穷区间上的反常积分，可以通过求原函数的方法计算．因为[*]，且x≥1，于是有原函数 F(x)=lnx-[*]ln(x²+1)=[*] 从而 [*] (Ⅲ) [*] (Ⅳ)这是一个无界函数的反常积分，其瑕点为a，由于被积函数中含有根式，应通过变量替换将根式去掉．注意被积函数可改写为[*]，即 x=[*](1+sint)，代入即得 [*]

解析

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