设二次型f(x1，x2，x3)=(a一1)x12+(a一1)x22+2x32+2x1x2(a＞0)的秩为2．用正交变换法化二次型为标准形．

admin2016-10-24 54

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=(a一1)x₁²+(a一1)x₂²+2x₃²+2x₁x₂(a＞0)的秩为2．
用正交变换法化二次型为标准形．

选项

答案A=[*]，由|λE一A|=0得λ₁=λ₂=2，λ₃=0．当λ=2时，由(2E一A)X=0得λ=2对应的线性无关的特征向量为α₁=[*] α₂=[*] 当λ=0时，由(0E一A)X=0得λ=0对应的线性无关的特征向量为α₃=[*] 因为α₁， α₂两两正交，单位化得γ₁=[*] 令[*]，则f=X^TAX[*]Y^T (Q^TAQ)Y=2y₁ ²+2y₂ ²．

解析

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考研数学三

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