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  3. 试证：对任意自然数n>1，方程xn+xn-1=1在(，1)内有唯一实数根．

试证：对任意自然数n>1，方程xn+xn-1=1在(，1)内有唯一实数根．

admin2013-12-11  42
问题 试证：对任意自然数n>1，方程xn+xn-1=1在(，1)内有唯一实数根．
选项
答案令f(x)=xn+xn-1+…+x-1． 则[*] f(1)=n-1，因n>1，所以f(1)>0． 因.[*]f(1)＜0，所以至少存在一点ξ∈([*]，1)，使得f(ξ)=0． 又f’(x)=nxn-1+(n-1)xn-2+…+1＞0，所以f(x)单调增加，因此f(x)=0有且仅有唯一实根，即f(ξ)=0，且ξ为唯一的，故方程(xn+xn-1+…+x)=1在([*]，1)内有唯一实数根．
解析
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