2. 考研
  3. 设，E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系；(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．

设，E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系；(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．

admin2021-01-19  63
问题 设，E为3阶单位矩阵．
(Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系；(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．
选项
答案(Ⅰ)用初等行变换化A为简单阶梯形矩阵： [*] 得Ax=0的同解方程组：[*] 求得一个非零解a=(-1，2，3，1)T，它构成Ax=0的基础解系． (Ⅱ)所求矩阵B应该是4×3矩阵．一种做法是把B的3个列向量分别作为3个线性方程组AX=(1，0，0)T，AX=(0，1，0)T和AX=(0，0，1)T的解来计算．下面的方法比较简单． 思路：满足AB=E的任何两个解的差都是AB=0的解．先求出AB=0的所有解，再求AB=E的一个特解，就可以得到满足AB=E的所有矩阵． ①AB=0的解是一个4×3矩阵，他的每一列都是Ax=0的解，因此是a的倍数，通解为 (c1a，c2a，c3a)，c1，c2，c3为任意常数． ②求AB=E的一个特解． 用初等行变换化(A｜E)为简单阶梯形矩阵： [*] ③AB=E的通解为 B0+(c1a，c2a，c3a)， c1，c2，c3为任意常数．
解析
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考研数学二

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