设数列{an}，{bn}满足—an（n=1，2，3，…），求证：（Ⅰ）若an＞0，则bn＞0；（Ⅱ）若an＞0（n=1，2，3，…）an收敛，则收敛.

admin2017-11-22 57

问题设数列{a_n}，{b_n}满足

—a_n（n=1，2，3，…），求证：
（Ⅰ）若a_n＞0，则b_n＞0；
（Ⅱ）若a_n＞0（n=1，2，3，…）

a_n收敛，则

收敛.

选项

答案(Ⅰ)由a_n＞0证b_n＞0[*]＞1+a_n．证明数列不等式转化为证明函数不等式e^x＞ 1+x，（x＞0）．令f（x）—e^x—（1+x），则 f’（x）=e^x—1 ＞0（x＞0）．又由f(x)在[0，+∞）连续[*]f（x）在[0，+∞）单调上升[*]f（x）＞f(0)=0（x＞0）[*]一aⁿ＞1，即bⁿ＞0． (Ⅱ)设a_n＞0，[*]e^an一a_n）=1．为证[*]与a_n的关系． [*]

解析

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