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设a1，a2，a3是复平面上的三个数，a1+a2+a3=0，且满足等式a21+a22+a23=a1a2+a2a3+a3a1。 证明(1)(z-a1)(z-a2)(z-a3)=z3-a1a2a3； (2)以a1，a2，a3为顶点的三角形为正三
设a1，a2，a3是复平面上的三个数，a1+a2+a3=0，且满足等式a21+a22+a23=a1a2+a2a3+a3a1。 证明(1)(z-a1)(z-a2)(z-a3)=z3-a1a2a3； (2)以a1，a2，a3为顶点的三角形为正三
admin
2015-06-14
113
问题
设a
1
，a
2
，a
3
是复平面上的三个数，a
1
+a
2
+a
3
=0，且满足等式a
2
1
+a
2
2
+a
2
3
=a
1
a
2
+a
2
a
3
+a
3
a
1
。
证明(1)(z-a
1
)(z-a
2
)(z-a
3
)=z
3
-a
1
a
2
a
3
；
(2)以a
1
，a
2
，a
3
为顶点的三角形为正三角形。
选项
答案
(1)证明：(z-a
1
)(z-a
2
)(z-a
3
)=z
3
-z
2
(a
1
+a
2
+a
3
)+z(a
1
a
2
+a
2
a
3
+a
3
a
1
)-a
1
a
2
a
3
由于a
1
+a
2
+a
3
=0， 因此a
1
a
2
+a
2
a
3
+a
3
a
1
=a
1
(-a
1
-a
3
)+a
2
(-a
1
-a
2
)+a
3
(-a
3
-a
2
)=-(a
2
1
+a
2
2
+a
2
3
)-(a
1
a
2
+a
2
a
3
+a
3
a
1
)=-2(a
1
a
2
+a
2
a
3
+a
3
a
1
) 于是3(a
1
a
2
+a
2
a
3
+a
3
a
1
)=0 所以a
1
a
2
+a
2
a
3
+a
3
a
1
=0 因此(z-a
1
)(z-a
2
)(z-a
3
)=z
3
-a
1
a
2
a
3
(2)证明：以a
1
，a
2
，a
3
为顶点的三角形为正三角形等价于向量[*]即[*] 两边平方得a
2
1
+a
2
2
+a
2
3
=a
1
a
2
+a
2
a
3
+a
3
a
1
。
解析
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本试题收录于：
数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
0
数学学科知识与教学能力
教师资格
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