2. 考研
  3. 设函数f(u)具有二阶连续导数，z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x，若f(0)=0，f’(0)=0，求f(u)的表达式。

设函数f(u)具有二阶连续导数，z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x，若f(0)=0，f’(0)=0，求f(u)的表达式。

admin2018-04-14  80
问题 设函数f(u)具有二阶连续导数，z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x，若f(0)=0，f’(0)=0，求f(u)的表达式。
选项
答案设u=excosy，则z=f(u)=f(excosy)，分别对x，y求导得 [*] =f"(u)e2xcos2y+f’(u)excosy， [*] =f"(u)e2xsin2y－f’(u)excosy， 则 [*]=f"(u)e2x=f"(excosy)e2x。 由已知条件[*]=(4z+excosy)e2x，可知f"(u)=4f(u)+u。这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程。 对应齐次方程的通解为 f(u)=C1e2u+C2e－2u，其中C1，C2为任意常数。 设非齐次方程的特解为y*=ax+b，代入可得a=－1／4，b=0。 对应非齐次方程特解为y*=－1／4u。故非齐次方程通解为f(u)=C1e2u+C2e－2u－[*]u。 将初始条件f(0)=0，f’(0)=0代入，可得C1=1／16，C2=－1／16，所以f(u)的表达式为 [*]
解析
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考研数学二

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