已知椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. 设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A的坐标为(-a,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且=4.求y0的值.

admin2019-06-01  26

问题 已知椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A的坐标为(-a,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且=4.求y0的值.

选项

答案由(Ⅰ)可知A(-2,0),设B点的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2).于是A、B两点的坐标满足方程组[*]由方程组消去y并整理,得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0.由-2x1=[*],得x1=[*],从而y1=[*].设线段AB的中点为M,则M的坐标为[*] 以下分两种情况: ①当k=0时,点B的坐标为(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴,于是[*]=(-2,-y0),[*]=(2,-y0).由[*]=4,得y0=±2√2 ②当k≠0时,线段AB的垂直平分线方程为y-[*]. 令x=0,解得y0=-[*],由[*]=(-2,-y0),[*]=(x1,y1—y0),[*]=-2x1-y0(y1-y0) =[*]=4. 整理得7k2=2,故k=±[*],所以y0=±[*],综上,y0=±2√2或y0=±[*].

解析
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