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设α1，α2，…，αk(k＜n)是Rn中k个线性无关的列向量。证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列。
设α1，α2，…，αk(k＜n)是Rn中k个线性无关的列向量。证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列。
admin
2015-09-14
53
问题
设α
1
，α
2
，…，α
k
(k＜n)是R
n
中k个线性无关的列向量。证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α
1
，α
2
，…，α
k
为其前k列。
选项
答案
取齐次线性方程组[*]的基础解系ξ
1
，…，ξ
n-k
，则可证明α
1
，…，α
k
，ξ
1
，…，ξ
n-k
线性无关：设λ
1
α
1
+…+λ
k
α
k
+μ
1
ξ
1
+…+μ
n-k
ξ
n-k
=0，两端左乘(λ
1
α
1
+…+λ
k
α
k
)T，并利用α
i
T
ξ
i
=0(i=1，…，k；j=1，…，n一k)，得(λ
1
α
1
+…+λ
k
α
k
)
T
(λ
1
α
1
+…+λ
k
α
k
)=0，即||λ
1
α
1
+…+λ
k
α
k
||=0，[*]λ
1
α
1
+…+λ
k
α
k
=0，而α
1
，…，α
k
线性无关，[*]λ
1
=…=λ
k
=0，[*]μ
1
ξ
1
+…+μ
n-k
ξ
n-k
=0，又ξ
1
，…，ξ
n-k
线性无关，[*]μ
1
=…=μ
n-k
=0，于是证得α
1
，…，α
k
，ξ
1
，…，ξ
n-k
线性无关，令矩阵P=[α
1
…α
k
ξ
1
…ξ
n-k
]，则P为满秩方阵，且以α
1
，…，α
k
为其前k列。
解析
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考研数学三
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