2. 考研
  3. 设α1，α2，…，αk(k＜n)是Rn中k个线性无关的列向量。证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列。

设α1，α2，…，αk(k＜n)是Rn中k个线性无关的列向量。证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列。

admin2015-09-14  25
问题 设α1，α2，…，αk(k＜n)是Rn中k个线性无关的列向量。证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列。
选项
答案取齐次线性方程组[*]的基础解系ξ1，…，ξn-k，则可证明α1，…，αk，ξ1，…，ξn-k线性无关：设λ1α1+…+λkαk+μ1ξ1+…+μn-kξn-k=0，两端左乘(λ1α1+…+λkαk)T，并利用αiTξi=0(i=1，…，k；j=1，…，n一k)，得(λ1α1+…+λkαk)T(λ1α1+…+λkαk)=0，即||λ1α1+…+λkαk||=0，[*]λ1α1+…+λkαk=0，而α1，…，αk线性无关，[*]λ1=…=λk=0，[*]μ1ξ1+…+μn-kξn-k=0，又ξ1，…，ξn-k线性无关，[*]μ1=…=μn-k=0，于是证得α1，…，αk，ξ1，…，ξn-k线性无关，令矩阵P=[α1…αkξ1…ξn-k]，则P为满秩方阵，且以α1，…，αk为其前k列。
解析
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考研数学三

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