设α1，α2，…，αk(k＜n)是Rn中k个线性无关的列向量。证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列。

admin2015-09-14 42

问题设α₁，α₂，…，α_k(k＜n)是Rⁿ中k个线性无关的列向量。证明：存在n阶满秩方阵P，使得P以α₁，α₂，…，α_k为其前k列。

选项

答案取齐次线性方程组[*]的基础解系ξ₁，…，ξ_n-k，则可证明α₁，…，α_k，ξ₁，…，ξ_n-k线性无关：设λ₁α₁+…+λ_kα_k+μ₁ξ₁+…+μ_n-kξ_n-k=0，两端左乘(λ₁α₁+…+λ_kα_k)T，并利用α_i^Tξ_i=0(i=1，…，k；j=1，…，n一k)，得(λ₁α₁+…+λ_kα_k)^T(λ₁α₁+…+λ_kα_k)=0，即||λ₁α₁+…+λ_kα_k||=0，[*]λ₁α₁+…+λ_kα_k=0，而α₁，…，α_k线性无关，[*]λ₁=…=λ_k=0，[*]μ₁ξ₁+…+μ_n-kξ_n-k=0，又ξ₁，…，ξ_n-k线性无关，[*]μ₁=…=μ_n-k=0，于是证得α₁，…，α_k，ξ₁，…，ξ_n-k线性无关，令矩阵P=[α₁…α_kξ₁…ξ_n-k]，则P为满秩方阵，且以α₁，…，α_k为其前k列。

解析

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考研数学三

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