设随机变量X与Y相互独立,且都在[0,1]上服从均匀分布,试求: (Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u); (Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fU(v).

admin2016-10-26  25

问题 设随机变量X与Y相互独立,且都在[0,1]上服从均匀分布,试求:
(Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u);
(Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fU(v).

选项

答案由于X与Y相互独立且密度函数已知,因此我们可以用两种方法:分布函数法与公式法求出U、V的概率密度. (Ⅰ)分布函数法.由题设知(X,Y)联合概率密度 [*] 所以U=XY的分布函数为(如图3.3) [*] FU(u)=P{XY≤u}=[*]f(x,y)dxdy. 当u≤0时,FU(u)=0;当u≥1时,FU(u)=1;当0<u<1时, [*] (Ⅱ)分布函数法.由题设知 [*] 所以y=|X一Y|的分布函数FV(Ⅴ)=P|X—Y|≤v}. 当v≤0时,FV(Ⅴ)=0;当v>0时, FV(Ⅴ)=P{|X—Y|≤v}=P{一v≤X—Y≤v} =[*]f(x,y)dxdy. 由图3.4知,当v≥1时,FV(Ⅴ)=1;当0<v<1时, [*] [*] 其中D={(x,y):0≤x≤1,0≤y≤1,|x一y|≤v}. [*]

解析
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