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设f(x,y)在点(0,0)处连续,且,其中a,b,c为常数. 讨论f(x,y)在点(0,0)处是否可微,若可微并求出df(x,y)|(0,0).
设f(x,y)在点(0,0)处连续,且,其中a,b,c为常数. 讨论f(x,y)在点(0,0)处是否可微,若可微并求出df(x,y)|(0,0).
admin
2014-02-06
81
问题
设f(x,y)在点(0,0)处连续,且
,其中a,b,c为常数.
讨论f(x,y)在点(0,0)处是否可微,若可微并求出df(x,y)|
(0,0)
.
选项
答案
当(x,y)→(0,0)时ln(1+x
2
+y
2
)~x
2
+y
2
,由求极限中等价无穷小因子替换得[*]又由f(x,y)在点(0,0)处的连续性即得[*]再由极限与无穷小的关系可知[*];1+0(1)(0(1)为当(x,y)→(0,0)时的无穷小量)→f(x,y)一f(0,0)-bx一cy=x
2
+y+(x
2
+y
2
)o(1)[*]即f(x,y)一f(0,0)=bx+cy+o(ρ)(ο→0).由可微性概念→f(x,y)在点(0,0)处可徽且df(x,y)|
(0,0)
)=bdx+cdy.
解析
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考研数学一
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