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设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为
设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为
admin
2012-09-06
45
问题
设A为4×3矩阵，η
1
，η
2
，η
3
是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k
1
，k
2
为任意常数，则Ax=β的通解为
选项
A、(η
2
+η
3
)/2+k
1
(η
2
-η
1
)
B、(η
2
-η
3
)/2+k
1
(η
2
-η
1
)
C、(η
2
+η
3
)/2+k
1
(η
2
-η
1
)+k
2
(η
3
-η
1
)
D、(η
2
-η
3
)/2+k
1
(η
2
-η
1
)+k
2
(η
3
-η
1
)
答案
C
解析
分析一 因为η
1
，η
2
，η
3
足Ax=β的3个线性无关的解，那么η
2
-η
1
，η
3
-η
1
是Ax=0的2个线性无关的解．从而n-r(A)≥2，即3-r(A)≥2 r(A)≤1．
显然r(A)≥l，凶此r(A)=1．
由n-r(A)=3-1=2，知(A)、(B)均不正确．
又A（η
2
+η
3
）/2=1/2η
2
+1/2Aη
3
=β,故1/2(η
2
+η
3
)是方程组Ax=β的解．所以应选(C)，
注意：1/2(η
2
+η
3
)是齐次方程组Ax=0的解．
分析二 用排除法(η
2
+η
3
)/2三是齐次线性方程组Ax=0的解，所以可排除选项(B)，(D)；又η
2
-η
1
，η
3
-η
1
线性无关，所以Ax=0的基础解系至少包含2个解向量，从而可排除选项(A)．因此应选(C)．
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考研数学三
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