2. 考研
  3. 设xOy平面上有正方形D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}及直线l：x+y=t(t≥0)。若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求∫0xS(t)dt(x≥0)。

设xOy平面上有正方形D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}及直线l：x+y=t(t≥0)。若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求∫0xS(t)dt(x≥0)。

admin2018-04-14  50
问题 设xOy平面上有正方形D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}及直线l：x+y=t(t≥0)。若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求∫0xS(t)dt(x≥0)。
选项
答案先写出面积S(t)的(分段)表达式。 当0＜t＜1时，图形为三角形，利用三角形的面积公式： S(t)=1／2t2； 当1＜t＜2时，图形面积可由正方形面积减去小三角形面积，其中由于x+y=t与y=1交点的横坐标为t－1，于是，小三角形的边长为：1－(t－1)=2－t，所以 S(t)=1－[*](2－t)2=1－[*](t2－4t+4)=－[*]t2+2t－1； 当t＞2时，图形面积就是正方形的面积：S(t)=1，则 [*] 当0≤x≤1时，∫0xS(t)dt=∫0x1／2t2dt=(1／2．t3／3)|0x=x3／6； 当1＜x≤2时，∫0xS(t)dt=∫01S(t)dt+∫1xS(t)=∫011／2t2dt+∫1x[1－[*](t－2)2]dt [*] 当x＞2时，∫0xS(t)dt=∫02S(t)dt+∫2xS(t)dt=1+∫2x1dt=x－1。 因此， [*]
解析
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考研数学二

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