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设xOy平面上有正方形D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}及直线l:x+y=t(t≥0)。若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积,试求∫0xS(t)dt(x≥0)。
设xOy平面上有正方形D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}及直线l:x+y=t(t≥0)。若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积,试求∫0xS(t)dt(x≥0)。
admin
2018-04-14
71
问题
设xOy平面上有正方形D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}及直线l:x+y=t(t≥0)。若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积,试求∫
0
x
S(t)dt(x≥0)。
选项
答案
先写出面积S(t)的(分段)表达式。 当0<t<1时,图形为三角形,利用三角形的面积公式: S(t)=1/2t
2
; 当1<t<2时,图形面积可由正方形面积减去小三角形面积,其中由于x+y=t与y=1交点的横坐标为t-1,于是,小三角形的边长为:1-(t-1)=2-t,所以 S(t)=1-[*](2-t)
2
=1-[*](t
2
-4t+4)=-[*]t
2
+2t-1; 当t>2时,图形面积就是正方形的面积:S(t)=1,则 [*] 当0≤x≤1时,∫
0
x
S(t)dt=∫
0
x
1/2t
2
dt=(1/2.t
3
/3)|
0
x
=x
3
/6; 当1<x≤2时,∫
0
x
S(t)dt=∫
0
1
S(t)dt+∫
1
x
S(t)=∫
0
1
1/2t
2
dt+∫
1
x
[1-[*](t-2)
2
]dt [*] 当x>2时,∫
0
x
S(t)dt=∫
0
2
S(t)dt+∫
2
x
S(t)dt=1+∫
2
x
1dt=x-1。 因此, [*]
解析
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0
考研数学二
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