2. 考研
  3. 设α1，α2，…，αn是n个n维列向量，已知齐次线性方程组 α1x1+α2x2+…+αnxn=0 (*) 只有零解，问齐次线性方程组 (α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn—1+αn)xn—1+(αn+α1)xn=

设α1，α2，…，αn是n个n维列向量，已知齐次线性方程组 α1x1+α2x2+…+αnxn=0 (*) 只有零解，问齐次线性方程组 (α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn—1+αn)xn—1+(αn+α1)xn=

admin2016-05-03  15
问题 设α1，α2，…，αn是n个n维列向量，已知齐次线性方程组
    α1x1+α2x2+…+αnxn=0    (*)
    只有零解，问齐次线性方程组
    (α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn—1+αn)xn—1+(αn+α1)xn=0    (**)
    是否有非零解?若没有，说明理由；若有，求出方程组(**)的通解．
选项
答案齐次线性方程组 α1x1+α2x2+…+αnxn=0 (*) 只有零解，故其系数矩阵(记为A)的秩r(A)=r(α1，α2，…，αn)=n，则矩阵A是可逆方阵． 齐次线性方程组 (α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn-1+αn)xn-1+(αn+α1)xn=0 (**) 的系数矩阵(记为B)和A有如下关系： (α1+α2，α2+α3，…，αn-1+αn，αn+α1)=(α1，α2，…，αn)[*]， 记为B=AC． 因A可逆，故有r(B)=r(C)，而 [*] 当n=2k+1时，｜C｜=2≠0，故r(B)=r(C)=n，方程组(**)只有零解． 当n=2k时，｜C｜=0，故r(B)=r(C)＜n，方程组(**)有非零解． 当n=2k时，B=AC，A可逆．故Bx=0和Cx=0是同解方程组，故只需求解线性齐次方程组 Cx=0即可． 对C作初等行变换，将第i行的(一1)倍加到第i+1行(i=1，2，…，n一1)． [*] 知r(B)=r(C)=2k一1，BX=0的基础解系为ξ=(1，一1，1，…，1，一1)T，故方程组(**)的通 解为cξ=c(1，一1，1，…，l，一1)T，其中c是任意常数． 或由C知，C中有n一1阶子式Cn-1≠0，故r(B)=r(C)=2k一1，Bx=0有通解kξ． 由观察，因α1+α2一(α2+α3)+…一(α2k+α1)=0，则通解为k(1，一1，1，一1，…，一1)T，其中k是任意常数．
解析
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考研数学三

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