设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=，又A*a=a，其中a=(1，1，－1)T． (I)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTXTAX化为标准形

admin2016-03-26 33

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX经过正交变换化为标准形f=

，又A*a=a，其中a=(1，1，－1)^T．
(I)求矩阵A；
(Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TX^TAX化为标准形

选项

答案(Ⅰ)显然A的特征值为λ₁=2，λ₂=一1，λ₃=一1，｜ A｜=2，伴随矩阵A*的特征值为μ₁=1，μ₂=一2，μ₃=一2．由A*a=a得AA*a=Aa，即Aa=2a，即a=(1，1，一1)^T是矩阵A的对应于特征值λ₁=2的特征向量. 令ξ=(x₁，x₂，x₃)^t为矩阵A的对应于特征值λ₂=一1，λ₃=一1的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以a^Tξ=0，即x₁+x₂一x₃=0，于是λ₂=一1，λ₃=一1对应的线性无关的特征向量为[*]. 令P=(a，a₂，a₃)=[*]，由p^－1AP=[*]，得A=P[*1395] (Ⅱ)令β₁=[*] 再令γ₁=[*] 则f(x₁，x₂，x₃)=[*].

解析

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考研数学三

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设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=，又A*a=a，其中a=(1，1，－1)T． (I)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTXTAX化为标准形

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