2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=，又A*a=a，其中a=(1，1，－1)T． (I)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTXTAX化为标准形

设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=，又A*a=a，其中a=(1，1，－1)T． (I)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTXTAX化为标准形

admin2016-03-26  29
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=，又A*a=a，其中a=(1，1，－1)T．
(I)求矩阵A；
(Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTXTAX化为标准形
选项
答案(Ⅰ)显然A的特征值为λ1=2，λ2=一1，λ3=一1，｜ A｜=2，伴随矩阵A*的特征值为μ1=1，μ2=一2，μ3=一2．由A*a=a得AA*a=Aa，即Aa=2a，即a=(1，1，一1)T是矩阵A的对应于特征值λ1=2的特征向量. 令ξ=(x1，x2，x3)t为矩阵A的对应于特征值λ2=一1，λ3=一1的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以aTξ=0，即x1+x2一x3=0，于是λ2=一1，λ3=一1对应的线性无关的特征向量为[*]. 令P=(a，a2，a3)=[*]，由p－1AP=[*]， 得A=P[*1395] (Ⅱ)令β1=[*] 再令γ1=[*] 则f(x1，x2，x3)=[*].
解析
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考研数学三

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