设f(x)在[a，b]上有连续的导数，证明 +∫ab｜f’(x)｜dx。

admin2018-01-30 99

问题设f(x)在[a，b]上有连续的导数，证明

+∫_a^b｜f^’(x)｜dx。

选项

答案可设[*]{｜f(x)｜}=｜f(x₀)｜，即证 (b一a)｜f(x₀)≤｜∫_a^bf(x)dx｜＋(b－a)∫_a^b｜f^’(x)｜dx，即｜∫_a^bf(x₀dx｜—｜∫_a^bf(x)dx｜≤(b－a)∫_a^b｜f^’(x)｜dx。事实上，｜∫_a^bf(x₀)dx｜－｜∫_a^bf(x)dx｜≤｜∫_a^b[f(x₀)一f(x)]dx｜ =｜∫_a^b[∫_x^x₀f^’(t)dt]dx｜≤∫_a^b[∫_a^b｜f^’(t)｜dt]dx =(b—a)∫_a^b｜f^’(x)｜dx。的得证。

解析

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