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求方程karctanx-x=0不同实根的个数,其中k为参数。
求方程karctanx-x=0不同实根的个数,其中k为参数。
admin
2017-01-14
15
问题
求方程karctanx-x=0不同实根的个数,其中k为参数。
选项
答案
令f(x)=karctanx-x,则f(0)=0,且 [*] 当k<1时,f’(x)<0,f(x)在(-∞,+∞)单调递减,故此时f(x)的图象与x轴只有一个交点,也即方程karctanx-x=0只有一个实根。 当k=1时,在(-∞,0)和(0,+∞)上都有f’(x)<0,所以f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上是严格单调递减的,又f(0)=0,故f(x)的图象在(-∞,0)和(0,+∞)上与x轴均无交点。 当k>1时,[*]上单调增加,由f(0)=0知,f(x)在[*]上只有一个实根;又f(x)在[*]上都有f’(x)<0,因此f(x)在[*]上都单调递减,且[*]上与x轴均只有一个交点。 综上所述,k≤1时,方程karctanx-x=0只有一个实根;k>1时,方程karctanx-x=0有三个实根。
解析
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考研数学一
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