已知y1=xex+e2x和y2=xex+e-x是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解,则此方程为 ( )

admin2016-09-13  28

问题 已知y1=xex+e2x和y2=xex+e-x是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解,则此方程为    (    )

选项 A、yˊˊ-2yˊ+y=e2x
B、yˊˊ-yˊ-2y=xex
C、yˊˊ-yˊ-2y=ex-2xex
D、yˊˊ-yˊ=e2x

答案C

解析 非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解,由y1-y2=e2x-e-x及解的结构定理知对应齐次方程通解为y=C1e2x+C2e-x,故特征根r1=2,r2=-1.对应齐次线性方程为
yˊˊ-yˊ-2y=0.
再由特解y*=xex知非齐次项
f(x)=y*ˊˊ-y*ˊ-2y*=ex-2xex
于是所求方程为
yˊˊ-yˊ-2y=ex-2xex
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