2. 考研
  3. 已知y1=xex+e2x和y2=xex+e－x是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )

已知y1=xex+e2x和y2=xex+e－x是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )

admin2016-09-13  29
问题 已知y1=xex+e2x和y2=xex+e－x是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为    (    )
选项 A、yˊˊ－2yˊ+y=e2x
B、yˊˊ－yˊ－2y=xex
C、yˊˊ－yˊ－2y=ex－2xex
D、yˊˊ－yˊ=e2x
答案C
解析 非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解，由y1－y2=e2x－e－x及解的结构定理知对应齐次方程通解为y=C1e2x+C2e－x，故特征根r1=2，r2=－1．对应齐次线性方程为
yˊˊ－yˊ－2y=0．
再由特解y*=xex知非齐次项
f(x)=y*ˊˊ－y*ˊ－2y*=ex－2xex，
于是所求方程为
yˊˊ－yˊ－2y=ex－2xex．
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考研数学三

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