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已知y1=xex+e2x和y2=xex+e-x是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解,则此方程为 ( )
已知y1=xex+e2x和y2=xex+e-x是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解,则此方程为 ( )
admin
2016-09-13
28
问题
已知y
1
=xe
x
+e
2x
和y
2
=xe
x
+e
-x
是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解,则此方程为 ( )
选项
A、yˊˊ-2yˊ+y=e
2x
B、yˊˊ-yˊ-2y=xe
x
C、yˊˊ-yˊ-2y=e
x
-2xe
x
D、yˊˊ-yˊ=e
2x
答案
C
解析
非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解,由y
1
-y
2
=e
2x
-e
-x
及解的结构定理知对应齐次方程通解为y=C
1
e
2x
+C
2
e
-x
,故特征根r
1
=2,r
2
=-1.对应齐次线性方程为
yˊˊ-yˊ-2y=0.
再由特解y
*
=xe
x
知非齐次项
f(x)=y
*
ˊˊ-y
*
ˊ-2y
*
=e
x
-2xe
x
,
于是所求方程为
yˊˊ-yˊ-2y=e
x
-2xe
x
.
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考研数学三
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